向量与参数方程

Tip现实应用：GPS与线性组合

你手机的GPS无时无刻不在使用线性组合！在计算你的位置时，它接收来自多颗卫星的信号，并以不同的权重将它们组合起来，从而精确定位你的位置。

在动画和游戏中，角色之所以能流畅移动，是因为它们的位置是通过关键帧位置的加权组合来计算的——这正是我们今天要学习的内容！

这个概念（线性组合）也是机器学习和人工智能的基础。神经网络本质上就是非常复杂的线性组合！

本课内容

• 线段的三等分点
• 加权平均作为线性组合
• 向量记号：\(\vec{AP} = \lambda \cdot \vec{AB}\)
• 直线的参数方程
• 推广到三维空间

Note什么是加权平均？

普通平均对所有值一视同仁： \[\text{3和9的平均值} = \frac{3 + 9}{2} = 6\]

加权平均则赋予某一侧更大的重要性：

• “从3到9的75%处” = \(0.25 \times 3 + 0.75 \times 9 = 7.5\)
• “从3到9的33%处” = \(0.67 \times 3 + 0.33 \times 9 = 5.0\)

权重之和总是等于1（100%）。这对坐标同样适用！

课程视频

课程关键帧

t = 07:30

t = 20:00

t = 54:00

t = 58:30

点的线性组合表示

给定端点 \(A\) 和 \(B\)，直线 \(AB\) 上的任意点 \(P\) 可以写成：

\[P = \lambda B + (1 - \lambda) A\]

可以把 \(\lambda\) 想象成从 \(A\) 到 \(B\) 的一个进度条。

• \(\lambda = 0\)：在点 \(A\) 处
• \(\lambda = 1\)：在点 \(B\) 处
• \(0 < \lambda < 1\)：在 \(A\) 和 \(B\) 之间
• \(\lambda < 0\) 或 \(\lambda > 1\)：在线段 \(AB\) 的外部

示例 1：求三等分点

已知： \(A = (3, 11)\)，\(B = (9, 4)\)

三等分点 \(T_1\)（靠近 \(A\)，\(\lambda = 1/3\)）： \[T_1 = \frac{2}{3}A + \frac{1}{3}B = (5, \tfrac{26}{3})\]

三等分点 \(T_2\)（靠近 \(B\)，\(\lambda = 2/3\)）： \[T_2 = \frac{1}{3}A + \frac{2}{3}B = (7, \tfrac{19}{3})\]

规则： 越靠近某个点 → 给该点分配更大的权重

拖动 \(\lambda\) 使点沿直线移动：

Note术语：参数方程

与其用 \(x\) 表示 \(y\)（如 \(y = 2x + 1\)），我们用第三个变量 \(\lambda\)（“参数”）来同时表示 \(x\) 和 \(y\)：

\[x = x_A + \lambda(x_B - x_A), \quad y = y_A + \lambda(y_B - y_A)\]

可以把 \(\lambda\) 想象成时间。当时间从0变化到1时，点就从 \(A\) 移动到 \(B\)。

为什么这很有用？ 因为它在任意维度都适用！斜率公式只在二维中有效，而参数方程在二维、三维、四维或任意维度都有效。

参数方程

通过 \(A(x_A, y_A)\) 和 \(B(x_B, y_B)\) 的直线的参数形式：

\[\begin{cases} x = x_A + \lambda(x_B - x_A) \\ y = y_A + \lambda(y_B - y_A) \end{cases}\]

消去 \(\lambda\) 可以得到我们熟悉的斜截式：

\[\frac{y - y_A}{x - x_A} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = m \text{ (斜率)}\]

推广到三维空间

只需加一个 \(z\) 方程——不需要斜率！

\[\begin{cases} x = x_A + \lambda(x_B - x_A) \\ y = y_A + \lambda(y_B - y_A) \\ z = z_A + \lambda(z_B - z_A) \end{cases}\]

外部点

已知： \(A = (3, 11)\)，\(B = (9, 4)\)，点 \(Q\) 在 \(AB\) 外部、\(A\) 一侧，且 \(|AQ| = \frac{1}{3}|AB|\)

\[\vec{AQ} = -\frac{1}{3}\vec{AB}\] （负号是因为 \(Q\) 在 \(B\) 的反方向）

\[Q = A - \frac{1}{3}(B - A) = (1, \tfrac{40}{3})\]

速查表

概念	公式
点的加权平均	\(P = (1-\lambda)A + \lambda B\)
中点（\(\lambda = 1/2\)）	\(M = \frac{1}{2}(A + B)\)
靠近 \(A\) 的三等分点（\(\lambda = 1/3\)）	\(T = \frac{2}{3}A + \frac{1}{3}B\)
内部点	\(0 < \lambda < 1\)
外部点	\(\lambda < 0\) 或 \(\lambda > 1\)

记住： 权重越靠近某个点，意味着你赋予该点更大的权重。就像拔河一样：拉力更大的一方获胜！