三角形面积比与线性组合
电子游戏和电影中的每一个3D模型都是由无数小三角形组成的！当游戏渲染一个角色的面部时，它通过对三角形各顶点颜色取加权平均来计算每个像素的颜色。
这就是重心插值——正是我们今天要学的内容。每一帧3D游戏画面每秒都要使用这个数学运算数十亿次！
本课内容
- 三角形的重心坐标
- 面积比决定线性组合的权重
- 内部点、外部点和边界点
- 三角形周围的三种区域类型
- 证明：线段比=面积比
在 \(A\) 和 \(B\) 之间的直线上： \[P = \alpha \cdot A + \beta \cdot B \quad\text{其中}\quad \alpha + \beta = 1\]
- 两个权重都为正 → \(P\) 在 \(A\) 和 \(B\) 之间
- 一个权重为负 → \(P\) 在线段外部
- 权重与到对面端点的距离成正比（越近 → 权重越大）
现在我们将这个概念从2个点推广到3个点！
课程视频
课程关键帧
点作为三角形顶点的加权平均
对于平面上三角形 \(ABC\) 中的任意点 \(P\)：
\[P = \frac{\Delta_A}{\Delta} \cdot A + \frac{\Delta_B}{\Delta} \cdot B + \frac{\Delta_C}{\Delta} \cdot C\]
在直线上，权重与距离（一维度量）相关。
在三角形中，权重与面积（二维度量）相关。
证明用到了一个优美的事实：
如果两个三角形共享相同的高，则它们的面积比等于底边比。
\[\frac{\text{Area}(\triangle ACD)}{\text{Area}(\triangle ABD)} = \frac{CD}{BD}\]
因为面积 = \(\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}\)，而共享的高相互抵消了！
其中：
- \(\Delta_A\) = 三角形 \(BPC\) 的面积（\(A\) 的对面）
- \(\Delta_B\) = 三角形 \(APC\) 的面积（\(B\) 的对面）
- \(\Delta_C\) = 三角形 \(APB\) 的面积（\(C\) 的对面）
- \(\Delta = \Delta_A + \Delta_B + \Delta_C\) = \(ABC\) 的总面积
拖动点 \(P\)，观察权重的变化：
三种区域类型
权重 \(\alpha, \beta, \gamma\)（其中 \(\alpha + \beta + \gamma = 1\)）可以对点进行分类：
| 区域 | 权重 | 位置 |
|---|---|---|
| 类型 1（内部） | 全部为正：\(\alpha, \beta, \gamma > 0\) | 三角形内部 |
| 类型 2（靠近顶点） | 一个 \(> 1\)，另外两个 \(< 0\) | 超过某个顶点 |
| 类型 3（靠近边） | 一个 \(< 0\)，另外两个 \(> 0\) | 超过某条边 |
证明：线段比=面积比
若 \(D\) 在线段 \(BC\) 上，则：
\[\frac{CD}{BD} = \frac{[\triangle ACD]}{[\triangle ABD]}\]
为什么？ 两个三角形共享从 \(A\) 到直线 \(BC\) 的同一高度 \(h\)：
\[\frac{[ACD]}{[ABD]} = \frac{\frac{1}{2} \cdot CD \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot h} = \frac{CD}{BD}\]
这是关键洞见：相同的高 → 面积比 = 底边比
速查表
| 概念 | 公式 |
|---|---|
| 三角形中的点 | \(P = \alpha A + \beta B + \gamma C\)，权重之和为1 |
| 顶点 \(A\) 的权重 | \(\alpha = \frac{\text{Area}(\triangle BPC)}{\text{Area}(\triangle ABC)}\) |
| 在三角形内部 | 三个权重都为正 |
| 在某条边上 | 一个权重 = 0 |
| 在某个顶点 | 一个权重 = 1，其余 = 0 |
| 重心 | 所有权重 = \(\frac{1}{3}\) |
| 面积比 = 底边比 | 当三角形共享相同的高时 |