相似图形、有符号面积与外部重心坐标证明

Published

February 25, 2026

当建筑师制作一座桥梁的比例模型时，他们知道每个长度放大一倍，面积就会变为4倍，体积变为8倍。这个缩放定律随处可见——从计算药物剂量（按体表面积缩放）到理解为什么大象的腿比老鼠的粗（体积增长比截面积更快）。

本课内容

  • 交叉（扭曲）梯形的有符号面积
  • 证明梯形面积公式在底为负数时仍然成立
  • 相似三角形：面积比 = (线性比)\(^2\)
  • 体积缩放：体积比 = (线性比)\(^3\)
  • 求交叉梯形的几何（无符号）面积
  • 严格证明：外部点的重心坐标
  • 蝴蝶三角形方法推广到外部点

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课程关键帧

预备知识

如果两个三角形的角相同，那么它们是相似的。这意味着所有对应边的比例相同（即线性比）。

若 \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)，线性比为 \(k\)，则： - \(DEF\) 的每条边是 \(ABC\) 对应边的 \(k\) 倍 - \(\text{Area}(DEF) = k^2 \cdot \text{Area}(ABC)\)

有符号面积为面积赋予一个方向。当沿逆时针方向遍历时，区域面积为正；当沿顺时针方向遍历时为负——或者等价地，当一个点在某条边的”错误一侧”时为负。这使得公式可以统一处理内部和外部的情况，而无需分类讨论。

核心要点

交叉梯形的有符号面积

当你”扭曲”一个梯形（使非平行边交叉）时，上底实际上指向反方向。将它视为 \(-a\) 而非 \(a\)：

\[\text{有符号面积} = \frac{1}{2}(b - a) \cdot h\]

这给出的是两个三角形区域的差，而非它们的和。

Important核心要点：有符号面积 vs. 无符号面积
类型 公式 含义
有符号面积 \(\frac{1}{2}(b - a)h\) \(A_2 - A_1\)（两个三角形的差）
无符号面积 \(\frac{1}{2} \cdot \frac{a^2 + b^2}{a + b} \cdot h\) \(A_1 + A_2\)（两个三角形的和）

有符号版本只是标准梯形公式中令 \(a\) 为负——公式本身不变，只是输入的符号变了！

面积与体积的缩放

对于线性比为 \(k = \frac{a}{b}\) 的相似图形：

维度 缩放倍数
长度 \(\times\, k\)
面积 \(\times\, k^2\)
体积 \(\times\, k^3\)

示例： 两个相似三角形，边长比为 \(1:2\)。

  • 面积比：\(1:4\)（不是 \(1:2\)！）
  • 如果是三维棱锥，体积比：\(1:8\)

想象一个正方形：把每条边加倍，你可以在里面放下4个原来的正方形。对于正方体：把每条棱加倍，你可以放下8个原来的正方体。这对任何形状都成立，不仅仅是正方形和正方体——相似性保证了这一点。

分解交叉梯形

给定一个交叉梯形，上底为 \(a\)，下底为 \(b\)（\(b > a\)），交叉产生两个相似三角形：

  • 上三角形（面积 \(A_1\)）：底为 \(a\)
  • 下三角形（面积 \(A_2\)）：底为 \(b\)
  • 面积比：\(\frac{A_1}{A_2} = \frac{a^2}{b^2}\)

高按比例分配：\(h_1 = \frac{a}{a+b} \cdot h\)，\(h_2 = \frac{b}{a+b} \cdot h\)

因此： \[A_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{b}{a+b} \cdot h = \frac{b^2}{2(a+b)} \cdot h\]

\[A_1 + A_2 = \frac{a^2 + b^2}{2(a+b)} \cdot h\]

外部重心坐标：证明

要证明当 \(P\) 在 \(\triangle ABC\) 外部时，\(P = \frac{S_1}{S}A + \frac{S_2}{S}B + \frac{S_3}{S}C\) 仍然成立：

  1. 延长 \(AP\) 交 \(BC\) 于点 \(D\)
  2. 将 \(D\) 写成 \(B\) 和 \(C\) 的加权平均，利用比例 \(\frac{CD}{BD} = \frac{S_2}{S_3}\)
    • 这里用到了蝴蝶三角形比例：共享角平分线的子三角形保持相同的底边比
  3. 将 \(P\) 写成 \(A\) 和 \(D\) 的加权平均，利用比例 \(\frac{AP}{AD}\)
  4. 代入 \(D\) 的表达式并化简

蝴蝶三角形的性质（相等的比例传递）对外部点同样适用——证明过程完全一致。

Important核心要点：相等比例的传递

如果 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，则对任意常数 \(\alpha, \beta\)：

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a - c}{b - d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{\alpha a + \beta c}{\alpha b + \beta d}\]

设公比为 \(r\)，写 \(a = br\) 和 \(c = dr\)，然后从任意线性组合中提取公因子 \(r\)。

这就是蝴蝶三角形比例成立的原因：所有子三角形对只是同一底边比的不同线性组合。

速查表

你想求什么 怎么做
相似图形的面积比 (线性比)\(^2\)
相似图形的体积比 (线性比)\(^3\)
有符号梯形面积 当上底为”负”时，\(\frac{1}{2}(b - a)h\)
交叉梯形的无符号面积 \(\frac{a^2 + b^2}{2(a+b)} \cdot h\)
外部重心坐标 公式相同；当 \(P\) 在第 \(i\) 条边远端时 \(S_i < 0\)
相等比例传递 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{\alpha a + \beta c}{\alpha b + \beta d}\) 为同一比值

缩放定律

\[\text{长度} \times k, \quad \text{面积} \times k^2, \quad \text{体积} \times k^3\]