二次方程与图形

Published

January 20, 2026

从图形中找到方程就像当一名数学侦探。你拿到线索（截距、顶点、特殊点），然后需要找出创造这个图形的”公式”。

科学家一直在做这件事：他们收集数据、画图，然后找出拟合数据的方程。有了方程，他们就可以预测未来——比如预测火箭的着陆点或疾病的传播方式。

本课内容

  • 从图形构建二次方程
  • 因式分解形式与配方形式
  • 利用 x 轴截距、y 轴截距和对称性
  • 扩展到三次多项式
  • 系数 \(a\)、\(b\)、\(c\) 的正负号

这些说的都是同一件事：使 \(y = 0\) 的 \(x\) 值（图形与 x 轴相交或相切的点）。

对于 \(y = (x-3)(x+1)\)，根为 \(x = 3\) 和 \(x = -1\)。

课程视频

课程关键帧

t = 13:20

t = 17:20

t = 17:40

t = 20:40

两种主要形式

如果 \(x = r_1\)，第一个括号变为零，使得整个表达式为零——这个点就在 x 轴上！

举例： 根在 \(x = -2\) 和 \(x = 3\)： \(y = k(x + 2)(x - 3)\) 代入 \(x = -2\)：\(y = k(0)(-5) = 0\) —— 在 x 轴上！

形式 表达式 最适合已知…
因式分解形式 \(y = k(x - r_1)(x - r_2)\) 根/x 轴截距
配方形式 \(y = a(x - h)^2 + k\) 顶点/对称轴

示例 1：由两个 x 轴截距求方程

已知： x 轴截距在 \(-2\) 和 \(3\)，y 轴截距为 \(2\)

  1. 由根得：\(y = k(x + 2)(x - 3)\)
  2. 代入 \((0, 2)\)：\(2 = k(2)(-3) = -6k \Rightarrow k = -\frac{1}{3}\)
  3. 答案： \(y = -\frac{1}{3}(x + 2)(x - 3)\)

试一试——拖动根的位置，观察抛物线如何变化：

当两个点有相同的 y 值时，它们一定关于对称轴互为镜像！

对称轴 = 它们 x 坐标的平均值（就是中点公式）。你可以把它想象成一个平衡点——镜面恰好在正中间。

示例 2：利用相同 y 值的对称性

已知： 点 \((1, 6)\) 和 \((-5, 6)\) 有相同的 \(y\) 值，另有一点 \((0, -1)\)

  1. 对称轴在 \(x = \frac{1 + (-5)}{2} = -2\)（对称点的中点）
  2. 把 \(y = 6\) 当作平移后的 x 轴：\(y = k(x - 1)(x + 5) + 6\)
  3. 代入 \((0, -1)\)：\(-1 = k(0-1)(0+5) + 6 \Rightarrow k = \frac{7}{5}\)

关键发现： 具有相同 y 值的点揭示了对称轴的位置！

特征 二次函数（\(x^2\)） 三次函数（\(x^3\)）
最高次幂 2 3
形状 U 形或倒 U 形 S 形曲线
最多根数 2 3
端点行为 两端方向相同 两端方向相反
最多转折点 1 2

关键发现：奇数次幂在两端方向相反，偶数次幂在两端方向相同。

示例 3：扩展到三次多项式

已知： 根在 \(-6\)、\(-2\)、\(4\)；y 轴截距为 \(-4\)

  1. 由根得：\(y = k(x + 6)(x + 2)(x - 4)\)
  2. 代入 \((0, -4)\)：\(-4 = k(6)(2)(-4) = -48k \Rightarrow k = \frac{1}{12}\)

判断 \(a\)、\(b\)、\(c\) 的正负号

给定 \(y = ax^2 + bx + c\) 的图形：

  • \(c\) = y 轴截距（如果图形在原点上方与 y 轴相交，则为正）
  • \(a\) = 开口向上（\(a > 0\)）或向下（\(a < 0\)）
  • \(b\)：利用对称轴公式 \(x = -\frac{b}{2a}\)
    • 如果对称轴为正且 \(a < 0\)：则 \(b > 0\)（两个负号抵消）

速查表

如何从图形求方程：

  1. 知道根？ → 用因式分解形式 \(y = k(x - r_1)(x - r_2)\)
  2. 知道顶点？ → 用顶点式 \(y = a(x - h)^2 + k\)
  3. 两个点有相同的 y 值？ → 它们的中点 = 对称轴
  4. 最后一步： 用一个额外的点来解出未知系数 \(k\)
概念 公式
因式分解形式 \(y = k(x - r_1)(x - r_2)\)
中点（对称性） \(x_{AOS} = \frac{x_1 + x_2}{2}\)
由系数求对称轴 \(x = -\frac{b}{2a}\)
三次函数因式分解形式 \(y = k(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)\)