多项式图形与变换
Tip现实应用：模式识别
这种将模式与模型匹配的技能——正是机器学习所做的事情！当 Netflix 推荐电影或 Spotify 推荐歌曲时，算法就是在将数据中的模式与已知模型进行匹配，就像我们将图形与方程匹配一样。
本课内容
- 将多项式方程与其图形匹配
- 偶数次幂与奇数次幂：端点行为
- 最大转折点数 = 次数 \(- 1\)
- 多项式长除法
- 判别式：\(\Delta = b^2 - 4ac\)
- 二重根、三重根与图形行为
侦探工具箱
当你看到多项式图形时，按以下顺序提问：
- 两端怎样？（都向上？都向下？相反？）——这告诉你是偶数次还是奇数次，以及首项系数的正负号。
- 转了几次弯？ ——这限定了次数（转折点数 \(\leq\) 次数 \(- 1\)）。
- 在哪里与 x 轴相交或相切？ ——这些就是根。是穿过（奇数重数）还是反弹（偶数重数）？
- 在哪里与 y 轴相交？ ——那就是常数项（代入 \(x = 0\)）。
课程视频
课程关键帧
端点行为
| 首项 | \(x \to +\infty\) | \(x \to -\infty\) |
|---|---|---|
| \(+x^{\text{偶数}}\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(-x^{\text{偶数}}\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(+x^{\text{奇数}}\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(-x^{\text{奇数}}\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
Tip快速记忆端点行为的技巧
只需看 \(x \to +\infty\) 时（图形最右边）会怎样：
- 如果图形在右侧向上 → 首项系数为正
- 如果图形在右侧向下 → 首项系数为负
就这么简单！看一眼右侧就知道正负号。
最大转折点数 = 次数为 \(n\) 的多项式最多有 \(n - 1\) 个转折点
Note转折点规则
\(n\) 次多项式最多有 \(n - 1\) 个转折点。
| 次数 | 最多转折点 | 类似于… |
|---|---|---|
| 1（一次） | 0 | 直线——不转弯 |
| 2（二次） | 1 | U 形——转一次弯 |
| 3（三次） | 2 | S 形——转两次弯 |
| 4（四次） | 3 | W 形——转三次弯 |
关键词：最多。 三次函数可以有 0 个转折点（如 \(y = x^3\)），但绝不会超过 2 个。
示例 1：因式分解 \(x^3 - 7x + 6\)
Note什么是多项式长除法？
就像普通的长除法，只是用了 \(x\)！
如果我们知道一个根（比如 \(x = 1\)），就可以除以 \((x - 1)\) 来找到剩余的因子。先匹配最高次项，相减，移下来，重复。
- 试 \(x = 1\)：\(1 - 7 + 6 = 0\) ✓ → \((x - 1)\) 是一个因子
- 多项式除法：\(x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x^2 + x - 6)\)
- 分解二次式：\((x^2 + x - 6) = (x - 2)(x + 3)\)
- 结果： \((x - 1)(x - 2)(x + 3)\)，根为 \(x = 1, 2, -3\)
试一试——改变根和首项系数：
Note术语：判别式
对于 \(ax^2 + bx + c = 0\)，判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 告诉你二次方程有多少个根。可以把它想象成”现实检验”——它告诉你抛物线是否真的碰到了 x 轴，还是浮在它的上方/下方。
判别式
对于 \(ax^2 + bx + c = 0\)：
\[\Delta = b^2 - 4ac\]
| \(\Delta\) | 根 |
|---|---|
| \(\Delta > 0\) | 两个不同的实根 |
| \(\Delta = 0\) | 一个重根（二重根） |
| \(\Delta < 0\) | 没有实根（复数根） |
“这是关于二次方程最重要的知识点！”
Tip为什么不同的根有不同的行为？
- 单根 \((x-r)^1\)：当 \(x\) 经过 \(r\) 时因子变号，所以图形穿过 x 轴
- 二重根 \((x-r)^2\)：因子总是非负的（平方！），所以图形反弹
- 三重根 \((x-r)^3\)：奇数次幂，所以穿过——但平坦的斜率形成 S 形
规则：奇数次穿过，偶数次反弹。
根在 x 轴处的行为
- 单根 \((x - r)^1\)：图形穿过 x 轴
- 二重根 \((x - r)^2\)：图形相切后反弹
- 三重根 \((x - r)^3\)：图形以平坦的拐点穿过
观察三种行为——\(a\) 处单根、\(b\) 处二重根、\(c\) 处三重根：
速查表
| 步骤 | 检查什么 |
|---|---|
| 1 | 偶数次还是奇数次？（两端同向 = 偶数，相反 = 奇数） |
| 2 | 首项系数正还是负？（右侧向上还是向下？） |
| 3 | 有多少个转折点？（最多 = 次数 - 1） |
| 4 | y 轴截距是多少？（代入 \(x = 0\)） |
| 5 | 能找到简单的根吗？（试 \(x = 0, \pm 1, \pm 2\)…） |
| 6 | 单根、二重根还是三重根？（穿过、反弹还是平坦穿过） |