配方法与抛物线

Tip为什么重要

抛物线在生活中无处不在！

• 篮球罚球：球的飞行轨迹是一条抛物线
• 卫星天线：抛物面形状可以聚焦信号
• 汽车前灯：抛物面反射镜将光线聚成光束
• 桥梁：悬索以抛物线形状悬挂

每次你向空中扔东西，它的轨迹都是一条抛物线。

本课内容

• 配方法的过程
• 二次函数的图形
• 顶点式与对称轴 (AOS)
• 抛物线：开口向上与开口向下
• 二次函数的最大值和最小值
• 从图形构建方程

课程视频

课程关键帧

t = 35:00

t = 42:40

t = 47:00

t = 48:40

预备知识

Note什么是二次方程？

二次方程是 \(x\) 的最高次幂为 2 的方程。

一般形式： \(y = ax^2 + bx + c\)

举例：

• \(y = x^2 + 3x + 2\) —— 二次方程（\(x^2\) 是最高次幂）
• \(y = 2x^2 - 5\) —— 二次方程（虽然没有 \(x\) 项，但仍然有 \(x^2\)）
• \(y = 3x + 1\) —— 不是二次方程（最高次幂是 1，这是一次方程）

Note函数图形是什么意思？

函数是一种规则：你输入一个 \(x\) 值，得到一个 \(y\) 值。

画图就是：代入很多 \(x\) 值，求出对应的 \(y\) 值，在坐标系上画出所有点 \((x, y)\)，然后用曲线连接它们。

对于 \(y = x^2\)：\(x = -2 \Rightarrow y = 4\)，\(x = 0 \Rightarrow y = 0\)，\(x = 2 \Rightarrow y = 4\) —— 把它们连起来就得到一条 U 形曲线，叫做抛物线！

核心要点

配方法

对于二次函数 \(y = x^2 + ax + b\)：

1. 关注含 \(x\) 的项：\(x^2 + ax\)
2. 取中间系数的一半：\(\left(\frac{a}{2}\right)\)
3. 写成：\(\left(x + \frac{a}{2}\right)^2\)
4. 补偿常数项：\(y = \left(x + \frac{a}{2}\right)^2 + \left(b - \frac{a^2}{4}\right)\)

Note术语：抛物线、顶点、对称轴

• 抛物线：二次函数产生的 U 形曲线。可以开口向上（碗状）或开口向下（伞状）。
• 顶点：最高点或最低点——曲线”转弯”的地方。
• 对称轴 (AOS)：将抛物线分成两个对称部分的竖直线。始终经过顶点。

示例 1：\(y = x^2 - 4x + 5\)

Tip配方法背后的核心思想

记住 \((x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4\)

我们的方程 \(x^2 - 4x + 5\) 和它几乎一样！它有相同的 \(x^2 - 4x\) 部分，只是常数项不同。

技巧： 把它凑成 \((x - \text{某数})^2 + \text{剩余}\) 的形式——这样我们就能准确知道顶点在哪里！

\[y = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1\]

• 取 \(x\) 系数的一半：\(\frac{-4}{2} = -2\)
• \((x-2)^2 = x^2 - 4x + 4\) 给出了前两项
• 补偿常数：\(5 - 4 = 1\)，所以 \(y = (x-2)^2 + 1\)

试一试——拖动滑块改变 \(a\)、\(h\)、\(k\)：

示例 2：\(y = -2x^2 - 12x\)

\[y = -2(x+3)^2 + 18\]

• 顶点： \((-3, 18)\) —— 这是一个最大值
• 对称轴： \(x = -3\)
• 开口向下（首项系数 \(< 0\)）

Tip为什么要从图形求方程？

在实际生活中，你经常看到数据（图形、测量值、轨迹），然后需要找出描述它的方程。科学家一直在做这件事：收集数据、画图、找方程。有了方程，你就可以预测那些还没有测量到的值。

示例 3：从图形构建方程

已知： 顶点在 \((4, -1)\)，经过点 \((7, -7)\)

1. 由顶点得：\(y = k(x - 4)^2 - 1\)
2. 代入 \((7, -7)\)：\(-7 = k(3)^2 - 1 \Rightarrow k = -\frac{2}{3}\)
3. 答案： \(y = -\frac{2}{3}(x-4)^2 - 1\)

速查表

你想知道什么	怎么做
求顶点	配方 → \((x - h)^2 + k\) → 顶点为 \((h, k)\)
求对称轴	\(x = h\)（顶点的 x 坐标）
开口方向？	\(a > 0\) → 向上（碗状）/ \(a < 0\) → 向下（伞状）
最大值还是最小值？	向上 → 最小值为 \(y = k\) / 向下 → 最大值为 \(y = k\)
从图形求方程	顶点 → \(h, k\) + 一个点 → 解出 \(a\)

配方法公式

\[y = x^2 + ax + b \;\longrightarrow\; y = \left(x + \frac{a}{2}\right)^2 + \left(b - \frac{a^2}{4}\right)\]